二、MATLAB数据及其运算

声明：
笔记是学习慕课网《科学计算与MATLAB语言》课程和刘卫国主编的《MATLAB程序设计与应用（第3版）》后的个人总结，方便自己以后巩固和复习！

2.1 Matlab数值数据

2.1.1 数值数据类型的分类

1．整型

整型数据是不带小数的数，分为有带符号整数和无符号整数。

2．浮点型

浮点型数据有单精度（single）和双精度（double）之分，单精度型实数在内存中占用4个字节，双精度型实数在内存中占用8个字节，双精度型的数据精度更高。

在Matlab中，数据默认为双精度型。

single函数 可以将其他类型的数据转换为单精度型；利用class可以得到参数的数据类型。

double函数 可以将其他类型的数据转换为双精度型。

3．复型

复型数据包括实部和虚部两个部分，实部和虚部默认为双精度型。

在MATLAB中，虚数单位用i或j表示。

例如，6+5i与6+5j表示的是同一个复数，也可以写成6+5i或6+5j，这里将i或j看作一个运算量参与表达式的运算。

2.1.2 数据的输出格式

MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。

format命令的格式为：

1
format 格式符

其中，格式符决定数据的输出格式，各种格式符及其含义如表所示。

格式符 含义
short 输出小数点后4位，最多不超过7位有效数字。对于大于1000的实数，用5位有效数字的科学记数形式输出
long 15位有效数字形式输出
short e 5位有效数字的科学记数形式输出
long e 15位有效数字的科学记数形式输出
short g 从short和short e中自动选择最佳输出方式
long g 从long和long e中自动选择最佳输出方式
rat 近似有理数表示
hex 十六进制表示
+ 正数、负数、零分别用+、-、空格表示
bank 银行格式，用元、角、分表示
compact 输出变量之间没有空行
loose 输出变量之间有空行

注意：format命令只影响数据输出格式，而不影响数据的计算和存储。

2.2 MATLAB矩阵的表示

2.2.1 矩阵的建立

1．直接输入法:

最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。

具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。

2.2.2 冒号表达式

冒号表达式可以产生一个行向量，

一般格式是： 

1
e1:e2:e3

其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。

初始值:4 步长:3 终止值:12。

在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。

其调用格式为：

1
linspace(a,b,n)

其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。

显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价

2.2.3 矩阵的引用

1．矩阵元素的引用方式

MATLAB通过下标引用矩阵的元素

例如：A(3,2)=200

也可以采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。

在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。
显然，序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。

2.利用冒号表达式获得子矩阵

① A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。

② A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素。 ③A(:)将矩阵A每一列元素堆叠起来，成为一个列向量，而这也是MATLAB变量的内部储存方式。

3.利用空矩阵删除矩阵的元素

在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为

1
X=[]

注意，X=[]与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。

4．改变矩阵的形状

reshape(A,m,n)函数在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。

例如：

1
2
3
4
5
6
x=[23,45,65,34,65,34,98,45,78,65,43,76
y=reshape(x,3,4
y =
    23    34    98    65
    45    65    45    43
    65    34    78    76

注意：

reshape函数只是改变原矩阵的行数和列数，即改变其逻辑结构，但并不改变原矩阵元素个数及其存储顺序。
A(:)将矩阵A的每一列元素堆叠起来，成为一个列向量，从而改变了矩阵的形状。

2.3 变量及其操作

2.3.1 变量与赋值语句

1．变量命名

在MATLAB 7.0中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。

2．赋值语句

(1) 变量=表达式

(2) 表达式

其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。

例如：计算表达式的值，并显示计算结果

在MATLAB命令窗口输入命令：

1
2
3
>> x=sqrt(7)-2i;
y=exp(pi/2);
z=(5+cos(47*pi/180))/(1+abs(x-y))

2.3.2预定义变量

在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率π的近似值，用i，j表示虚数单位。

预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。

2.3.3 变量的管理

1．内存变量的删除与修改

MATLAB工作区窗口专门用于内存变量的管理。在工作区窗口中可以显示所有内存变量的属性。

who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。

who命令只显示出驻留变量的名称；

whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。

clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。

2．内存变量文件 利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。常用格式为：

1
2
save 文件名 [变量名表]  [-append] [-ascii]
load 文件名  [变量名表]  [-ascii]

其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。

2.4 MATLAB常用内部函数

2.4.1 常用数学函数

MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。

2.4.2 矩阵的超越函数

MATLAB还提供了一些直接作用于矩阵的超越函数，这些函数名都在上述内部函数名之后缀以m，并规定输入参数A必须是方阵。

1．矩阵平方根

sqrtm(A)计算矩阵A的平方根。

2．矩阵对数

logm(A)计算矩阵A的自然对数。此函数输入参数的条件与输出结果间的关系和函数sqrtm(A)完全一样。

3．矩阵指数

expm(A)的功能都是求矩阵指数eA。例如，对上面计算所得到的A的自然对数b.

4．普通矩阵函数

funm(A,@fun)对方阵A计算由fun定义的函数的矩阵函数值。例如，当fun取exp时，funm(A,@exp)可以计算矩阵A的指数，与expm(A)的计算结果一样。

2.5 MATLAB运算

2.5.1 算术运算

1．基本算术运算

MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、^(乘方)。

注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。

(1) 矩阵加减运算

假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。

(2) 矩阵乘法

假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。

(3) 矩阵除法

在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。

如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。

A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A) *B，

而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。

(4) 矩阵的乘方

一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。

1
A^2 = A*A

2．点运算

在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。

2.5.2 关系运算

MATLAB提供了6种关系运算符：

<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。
它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。

关系运算符的运算法则为：

(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。

(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。

(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。

例如：

建立5阶方阵A，判断A的元素是否能被3整除

其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(==)比较的结果矩阵。

2.5.3 逻辑运算

MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非)。

逻辑运算的运算法则为：

(1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。

(2) 设参与逻辑运算的是两个标量a和b，

那么，a&b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。

a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为1。

～a 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。

(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。

(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。

(5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。

(6) 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。

2.6 字符串

在MATLAB中，字符串是用单撇号括起来的字符序列。

MATLAB将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。

2.6.1 字符串的表示

在MATLAB中，字符串是用单引号括起来的字符序列。例如：

1
xm='Central South University'

例：建立一个字符串向量，然后对该向量做如下处理：

(1) 取第1～5个字符组成的子字符串。

(2) 将字符串倒过来重新排列。

(3) 将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。

(4) 统计字符串中小写字母的个数。

1
2
3
4
5
6
7
8
ch='ABc123d4e56Fg9';
subch=ch(1:5)           %取子字符串
revch=ch(end:-1:1)       %将字符串倒排
k=find(ch>='a'&ch<='z');     %找小写字母的位置
ch(k)=ch(k)-('a'-'A');         %将小写字母变成相应的大写字母
char(ch)                
length(k)                  %统计小写字母的个数

注意是英文下的单撇号；’ABc123d4e56Fg9’，不是‘ABc123d4e56Fg9’

2.6.2 字符串的操作

1．字符串的执行
与字符串有关的一个重要函数是eval，它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB命令来执行，其调用格式为：
eval(s)
其中s为字符串。例如：

1
2
3
4
5
>> t=pi;
m='[t,sin(t),cos(t)]';
y=eval(m)
y =
    3.1416    0.0000   -1.0000

2．字符串与数值之间的转换
字符串是以ASCII码形式存储的，abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。

3．字符串的连接
在MATLAB中，要将两个字符串连接在一起，有两种常见方法：一是用字符串向量，二是用strcat函数。

4．字符串的比较
字符串的比较有两种方法：利用关系运算符或字符串比较函数。
当两个字符串拥有相同的长度时，可以利用关系运算符对字符串进行比较，比较的规则是按ASCII值大小逐个字符进行比较，比较的结果是一个数值向量，其元素为对应字符比较的结果。例如：

1
2
3
>> 'www0'>='W123'
ans =
     1     1     1     0

字符串比较函数用于判断字符串是否相等，有4种比较方式，函数如下：

① strcmp(s1,s2)：用来比较字符串s1和s2是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。
② strncmp(s1,s2,n)：用来比较前n个字符是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。
③ strcmpi(s1,s2)：在忽略字母大小写前提下，比较字符串s1和s2是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。
④ strncmpi(s1,s2,n)：在忽略字符串大小写前提下，比较前n个字符是否相等，如果相等，返回1，否则返回0。

2.7 结构数据和单元数据

2.7.1 结构数据

1．结构矩阵的建立与引用

建立一个结构矩阵可采用给结构成员赋值的办法。

具体格式为：

结构矩阵名.成员名=表达式

其中表达式应理解为矩阵表达式。

2．结构成员的修改

可以根据需要增加或删除结构的成员。

例如要给结构矩阵a增加一个成员x4，可给a中任意一个元素增加成员x4：

1
a(1).x4=‘410075’;

但其他成员均为空矩阵，可以使用赋值语句给它赋确定的值。

要删除结构的成员，则可以使用rmfield函数来完成。

例如，删除成员x4：

1
a=rmfield(a,‘x4’);
2.7.2 单元数据

建立单元矩阵和一般矩阵相似，只是矩阵元素用大括号括起来。

可以用带有大括号下标的形式引用单元矩阵元素。例如b{3,3}。单元矩阵的元素可以是结构或单元数据。

可以使用celldisp函数来显示整个单元矩阵，如celldisp(b)。