一、无人驾驶--路径规划算法：Dijkstra

2、Dijkstra

2.1、算法简介

迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又称为狄克斯特拉算法；

它是从一个节点遍历其余各个节点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。

主要特点：从起点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到初始点距离最近且未访问过的顶点的邻接点，直到扩展到终点为止。

2.2、算法思路

如上图G=(V,E)是一个带权有向图，把图中节点集合V分成两组：

第一组为已经求出最短路径的节点集合（用S表示，初始时S只有一个源点，即：D(0),之后每求得一条最短路径，就将该节点加入到集合S中，指导全部节点都加入到S中，算法就结束了）；第二组为其余未确定最短路径的节点集合（U表示），按最短路径长度的递增次序把第二组的节点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点V到S中节点的最短路径长度不大于从源点V到U中任何节点的最短路径长度。

此外，每个节点对应一个距离,S中的节点的距离就是从V到此节点的最短路径长度,U中的节点的距离，是从V到此节点只包含S中的节点为中间节点的当前最短路径长度。

具体流程：

设D为起点，A为终点，找到D~A的最短路径

1、S中只包含起节点D（0）；U包含除S外的其它节点，如C节点，C与D相邻，所以C（3）表示C到D的距离为3，而F与D不相邻，所以设F到D的距离为∞。

2、在U中选出最短节点，这里为C（3），将C移到S中，并在U中删除。

3、按上述方法依次选出，在U中选出最短节点，此时为E（4），将E移到S中，并在U中删除。

4、此时就要对比DCB=13;DCF=9;DEF=6;DEG=12的距离，所以将F（6）移到S中，并在U中删除；

5、依次按照上述方法推算

6、直到U为空集，此时，可以得到最短距离：A(22) = DEF~A =4+2+16；

2.3、算法具体实现

defColorMap.m文件：

作用：生成栅格图

function [field,cmap] = defColorMap(rows, cols)
cmap = [1 1 1; ...       % 1-白色-空地
    0 0 0; ...           % 2-黑色-静态障碍
    1 0 0; ...           % 3-红色-动态障碍
    1 1 0;...            % 4-黄色-起始点 
    1 0 1;...            % 5-品红-目标点
    0 1 0; ...           % 6-绿色-到目标点的规划路径   
    0 1 1];              % 7-青色-动态规划的路径

% 构建颜色MAP图
colormap(cmap);

% 定义栅格地图全域，并初始化空白区域
field = ones(rows, cols);

% 障碍物区域
obsRate = 0.3;
obsNum = floor(rows*cols*obsRate);
obsIndex = randi([1,rows*cols],obsNum,1);
field(obsIndex) = 2;

getNeighborNodes.m文件：

作用：搭建个节点之间的关系；实现查找当前父节点临近的周围8个子节点

function neighborNodes = getNeighborNodes(rows, cols, lineIndex, field)
[row, col] = ind2sub([rows,cols], lineIndex);
neighborNodes = inf(8,2);

%% 查找当前父节点临近的周围8个子节点
% 左上节点
if row-1 > 0 && col-1 > 0
    child_node_sub = [row-1, col-1];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(1,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(1,2) = cost;
    end
end

% 上节点
if row-1 > 0
    child_node_sub = [row-1, col];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(2,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(2,2) = cost;
    end
end

% 右上节点
if row-1 > 0 && col+1 <= cols
    child_node_sub = [row-1, col+1];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(3,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(3,2) = cost;
    end
end

% 左节点
if  col-1 > 0
    child_node_sub = [row, col-1];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(4,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(4,2) = cost;
    end
end

% 右节点
if  col+1 <= cols
    child_node_sub = [row, col+1];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(5,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(5,2) = cost;
    end
end

% 左下节点
if row+1 <= rows && col-1 > 0
    child_node_sub = [row+1, col-1];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(6,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(6,2) = cost;
    end
end

% 7.下节点
if row+1 <= rows
    child_node_sub = [row+1, col];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(7,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(7,2) = cost;
    end
end

% 8.右下节点
if row+1 <= rows && col+1 <= cols
    child_node_sub = [row+1, col+1];
    child_node_line = sub2ind([rows,cols], child_node_sub(1), child_node_sub(2));
    neighborNodes(8,1) = child_node_line;
    if field(child_node_sub(1), child_node_sub(2)) ~= 2
        cost = norm(child_node_sub - [row, col]);
        neighborNodes(8,2) = cost;
    end
end

Dijkstra.m文件：

具体的算法实现

% 基于栅格地图的机器人路径规划算法
% 第2节：Dijkstra算法
clc
clear
close all

%% 栅格界面、场景定义
% 行数和列数
rows = 10;
cols = 20;
[field,cmap] = defColorMap(rows, cols);

% 起点、终点、障碍物区域
startPos = 2;
goalPos = rows*cols-2;
field(startPos) = 4;
field(goalPos) = 5;

%% 算法初始化
% S/U的第一列表示栅格节点线性索引编号
% 对于S，第二列表示从源节点到本节点已求得的最小距离，不再变更；
% 对于U，第二列表示从源节点到本节点暂时求得的最小距离，可能会变更
U(:,1) = (1: rows*cols)';
U(:,2) = inf;
S = [startPos, 0];
U(startPos,:) = [];

% 更新起点的邻节点及代价
neighborNodes = getNeighborNodes(rows, cols, startPos, field);
for i = 1:8
    childNode = neighborNodes(i,1);
    
    % 判断该子节点是否存在
    if ~isinf(childNode)
        idx = find(U(:,1) == childNode);
        U(idx,2) = neighborNodes(i,2);
    end
end



% S集合的最优路径集合
for i = 1:rows*cols
    path{i,1} = i;
end
for i = 1:8
    childNode =  neighborNodes(i,1);
    if ~isinf(neighborNodes(i,2))
        path{childNode,2} = [startPos,neighborNodes(i,1)];
    end
end


%% 循环遍历
while ~isempty(U)
    
    % 在U集合找出当前最小距离值的节点,视为父节点，并移除该节点至S集合中
    [dist_min, idx] = min(U(:,2));
    parentNode = U(idx, 1);
    S(end+1,:) = [parentNode, dist_min];
    U(idx,:) = [];
    
    % 获得当前节点的临近子节点
    neighborNodes = getNeighborNodes(rows, cols, parentNode, field);

    % 依次遍历邻近子节点，判断是否在U集合中更新邻节点的距离值
    for i = 1:8
        
        % 需要判断的子节点
        childNode = neighborNodes(i,1);
        cost = neighborNodes(i,2);
        if ~isinf(childNode)  && ~ismember(childNode, S)
            
            % 找出U集合中节点childNode的索引值
            idx_U = find(childNode == U(:,1));            
            
            % 判断是否更新
            if dist_min + cost < U(idx_U, 2)
                U(idx_U, 2) = dist_min + cost;
                
                % 更新最优路径
                path{childNode, 2} = [path{parentNode, 2}, childNode];
            end
        end
    end
end


%% 画栅格界面
% 找出目标最优路径
path_opt = path{goalPos,2};
field(path_opt(2:end-1)) = 6;

% 画栅格图
image(1.5,1.5,field);
grid on;
set(gca,'gridline','-','gridcolor','k','linewidth',2,'GridAlpha',0.5);
set(gca,'xtick',1:cols+1,'ytick',1:rows+1);
axis image;

2.3.1、程序详解

①、 算法初始化

%% 算法初始化
% S/U的第一列表示栅格节点线性索引编号
% 对于S，第二列表示从源节点到本节点已求得的最小距离，不再变更；
% 对于U，第二列表示从源节点到本节点暂时求得的最小距离，可能会变更
U(:,1) = (1: rows*cols)';
U(:,2) = inf;
S = [startPos, 0];
U(startPos,:) = [];

对U集合进程初始化，生成如下表，第一列未线性索引值，第二列为距离都设为∞
U(:,1) = (1: rows*cols)';
U(:,2) = inf;

%将初始节点放入S集合中，并设置它的距离为0；再U集合中删除初始节点！
S = [startPos, 0];
U(startPos,:) = [];

②、更新起点的邻节点及代价

% 更新起点的邻节点及代价
neighborNodes = getNeighborNodes(rows, cols, startPos, field);
for i = 1:8
    childNode = neighborNodes(i,1);
    
    % 判断该子节点是否存在
    if ~isinf(childNode)
        idx = find(U(:,1) == childNode);
        U(idx,2) = neighborNodes(i,2);
    end
end

这里调用了getNeighborNodes函数实现查找当前父节点临近的周围8个子节点

有三种情况：

①、两列都为inf，即这个节点不存在；

②、两个都是数字，即此节点存在，且为自由空间（可以走的节点）；

③、第一列是数字，第二列是inf，即此节点为障碍物

for i = 1:8；之后进行8次循环，判断该子节点是否存在，如果子节点存在，则将从父节点到子节点的距离存放到U集合中；

如上图中D是父节点，它有两个子节点C和E，那么就要再U集合中更新D到这两个节点的距离为3和4。

③、S集合的最优路径集合

% S集合的最优路径集合
for i = 1:rows*cols
    path{i,1} = i;
end
for i = 1:8
    childNode =  neighborNodes(i,1);
    if ~isinf(neighborNodes(i,2))
        path{childNode,2} = [startPos,neighborNodes(i,1)];
    end
end

这里是生成初始节点的最优路径

④、进行循环，循环的条件是U集合不为空

while ~isempty(U)
    
    % 在U集合找出当前最小距离值的节点,视为父节点，并移除该节点至S集合中
    [dist_min, idx] = min(U(:,2));
    parentNode = U(idx, 1);
    S(end+1,:) = [parentNode, dist_min];
    U(idx,:) = [];
    
    % 获得当前节点的临近子节点
    neighborNodes = getNeighborNodes(rows, cols, parentNode, field);

    % 依次遍历邻近子节点，判断是否在U集合中更新邻节点的距离值
    for i = 1:8
        
        % 需要判断的子节点
        childNode = neighborNodes(i,1);
        cost = neighborNodes(i,2);
        if ~isinf(childNode)  && ~ismember(childNode, S)
            
            % 找出U集合中节点childNode的索引值
            idx_U = find(childNode == U(:,1));            
            
            % 判断是否更新
            if dist_min + cost < U(idx_U, 2)
                U(idx_U, 2) = dist_min + cost;
                
                % 更新最优路径
                path{childNode, 2} = [path{parentNode, 2}, childNode];
            end
        end
    end
end

得出个节点的距离值，进行排序后得到最优路径！

Dijkstra算法动态效果实现图：